1. 递推公式：a(n+1)=a(n)+3b(n) ，b(n+1)=a(n)+b(n) 。设a(n)/b(n)=k ，则a(n+1)/b(n+1)=(k+3)/(k+1)，直接列式：k=(k+3)/(k+1) ，得k=√3 ，计算机已经验证过，结果无误 。证明设p(n)=a(n)/b(n) ，则p(n+1)=(p(n)+3)/(p(n)+1) ，用不动点法求出(p(n)+√3)/(p(n)-√3)为绝对值递增等比数列即可。
2. q=1/2，分子是14d? ，设q=a/b ，则说明14b?/(a?+ab+b?)为整数，因为b?和(a?+ab+b?)互质，所以(a?+ab+b?)是14的约数 ，凑一凑就可以了 。
3. 把log2(n)提出来 ，原式=(n+2)log2(1+2/n)-2(n+1)log2(1+1/n)
=1/ln(2)*((n+2)*(2/n)-2(n+1)(1/n))=0，最后一步是泰勒展开 ，计算机已经验证过了 ，结果无误 。
4. 归纳法证a(n)<=(n+1)/2，因为a(n)?/n?接近1/4 ，a(n)逐项增加其实远不到1/2。
5. (1)直接数学归纳法 ，利用f(x)=x+1/x的增减区间，证明很容易 ，√(2n+2)-√2n=2/(√(2n+2)+√2n)<2/(2√2n)=1/√2n 。(2)反证法 ，假设存在C，把原式子平方 ，说明平方每次增加2+1/an^2 ，而且增加的部分其实>2+1/(2n+C)，级数1/(2n+C)的和是无穷，根本无上界C ，直接矛盾 。
6. (1)把原递推式展开成(2a(n+1)-7a(n))?=45a(n)?-36 ，可得a(n+1)?-7a(n+1)a(n)+a(n)?+9=0，可得a(n)=(7a(n+1)-√(45a(n+1)?-36))/2 ，因此a(n-1)=(7a(n)-√(45a(n)?-36))/2 ，因此a(n+1)+a(n-1)=7a(n)。(2) 直接配方，a(n+1)a(n)-1=(3a(n)+√(5a(n)?-4))?/4 。
7. 直接求数列通项公式 ，可以证明an+a(n+1)+2为((3+√5)/2)^(n-1)+((3-√5)/2)^(n-1)的平方 ，平方根的数列通项公式为b(n+1)=3b(n)-b(n-1) 。
8. (1)很容易。(2)归纳证明an>n/(n+1)即可，此证明很容易 ，因为甚至可以估计出1-1/(3n+1)>an>1-1/(3n)。
9. 1-2(x+y)/(1+x)(1+y)=(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)=(1-x)/(1+x)×(1-y)/(1+y) ，所以可以看出(1-a(n))/(1+a(n))肯定是个等比数列，后面过程略 。
10. 实际上1/a1+1/a2+...+1/an+1/a1a2..an=1 ，所以an=a1a2..a(n-1)+1 ，归纳法可证明 。
码字辛苦，求加分。
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